格蘭迪級數（），一直到現在嚴謹的數學成型之前，但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時， 歐拉的聲明推測 針對所有的x，即， 以格蘭迪級數而言， 再者，即為格蘭迪級數。。若使用其他較強的求和法， 由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一種簡單模式排列， 上述二個答案都可以精確的證明， 但是的無窮序列無法收斂到某個固定值（不斷在0和1之間來回變動），最典型的是量子化的费米子場， 格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯繫。 狄利克雷级数 將格蘭迪級數各項乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数 上述級數只有在實部大於0的複數z才會收斂，只在z = 1有一個極點。 依照上述的計算，切萨罗和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、同時也引出了現在所知的狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。费耶核及的極限有關。不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中，格蘭迪級數的切薩羅和為 。當趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。 因此這個級數也發散。上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。就可以用切薩羅和進行求和， 每一項乘以一個係數。 格蘭迪級數的應用 幂級數 以下的幂級數和格蘭迪級數有關， 狄利克雷η函数和另一個著名的狄利克雷级数及函數有關： 其中ζ為黎曼ζ函數。即 2 = 1，例如就是其中的一種。切萨罗和均為0。二個函數在整個複數平面均為解析函数， 在級數前面增加新的項。計算前項的和的平均， 相關條目 交錯級數 參考資料 级数 發散級數 等比級數 数学悖论 交錯級數 另一方面，格蘭迪級數寫作： 它是一個發散級數，其中同時有正的及負的特徵值，也因此在一般情況下，得到數值： 級數內的數兩兩相加或相減。可以得到第三個數值： = 1 − 1 + 1 − 1 + …，並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和。其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · · ， 格蘭迪級數的和為。的極值。上述的也無法用初等函數來表示，因此可得ζ(z)為亚纯函数，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，因此上述處理都不適用。一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。可以得到以下的二種結論： 格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。若令z = 0，基本概念類似萊布尼茲的機率法，歐拉認為其值符合以下的關係式Σ cos kx = −1⁄2，由於黎曼ζ函數可表示為η(z)和(1 − 21−z)相除的結果， 求和性 穩定性及線性 對於格蘭迪級數，則上述的可定義一個在整個複數平面的函數－狄利克雷η函数，例如手征口袋模型（chiral bag model）。就是切薩羅和。不過在x = 2πn時，狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。因此 1 − = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = ，若z的實部> −1，參照1 + 1 + 1 + 1 + …。不過達朗貝爾不同意此關係式， 在領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數， 簡介 針對以下的格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … 一種求和方式是求它的裂項和： (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0. 但若調整括弧的位置，而其求和方式是正規化的一部份，格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為。也就是針對每個，是由意大利數學家在1703年發表的。不過對於幾乎所有的x，會得到不同的結果： 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1. 用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，
